HP 49g+ Benutzeranleitung Seite 403

Gleichungssystem, das über mehr Unbekannte als Gleichungen verfügt, nicht
eindeutig bestimmt (unterbestimmt) ist.
Wie berechnet der Taschenrechner die zuvor dargestellte Lösung x =
[15.37... 2.46... 9.62...]? Der Taschenrechner minimiert den Abstand von
einem Punkt, der die Lösung darstellt, zu jeder der durch die Gleichungen im
linearen Gleichungssystem dargestellten Ebenen. Der Taschenrechner
verwendet die Methode der kleinste Quadrate , d. h., die Summe der
Quadrate dieser Abstände bzw. Fehler wird minimiert.
Überbestimmtes Gleichungssystem
Das lineare Gleichungssystem
kann als Matrixgleichung A⋅x = b beschrieben werden, wenn
1
A 2
1
dieses System über mehr Gleichungen als Unbekannte verfügt (überbestimmtes
Gleichungssystem). Für das System gibt es keine einzelne Lösung. Jede lineare
Gleichung im oben dargestellten Gleichungssystem stellt eine gerade Linie in
einem zweidimensionalen kartesischen Koordinatensystem (x
zwei der drei Gleichungen des Systems nicht dieselbe Gleichung darstellen,
besitzen die drei Linien mehr als einen Schnittpunkt. Daher ist die Lösung nicht
eindeutig. Mithilfe einiger numerischer Algorithmen kann eine Lösung für das
Gleichungssystem erzwungen werden, indem der Abstand vom mutmaßlichen
Lösungspunkt zu jeder Linie des Gleichungssystems minimiert wird. Dies ist der
von der numerischen Lösung des HP 49 G verwendete Ansatz.
Wir suchen nun mit der numerischen Lösung nach einer Lösung dieses
Gleichungssystems: ‚Ï ˜˜˜ @@OK@@. Geben Sie Matrix A und
x + 3x = 15,
1 2
2x – 5x = 5,
1 2
-x + x = 22
1 2
3
x
1
5 , x ,
and
x
2
1
15
b 5 .
22
, x ) dar. Sofern
1 2
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