Modulare Arithmetik - HP 49g+ Benutzeranleitung

werden unabhängig von den Einstellungen des Taschenrechners (ALG oder
RPN) behandelt.

Modulare Arithmetik

Nehmen wir ein Zahlensystem bestehend aus Ganzzahlen, welche periodisch
auf sich selbst zurückgehen und neu starten, wie die Stunden einer Uhr. Ein
solches Zählsystem wird als Ring bezeichnet. Da die in einem Ring
verwendete Anzahl von Ganzzahlen begrenzt ist, wird die Arithmetik in
diesem Ring als endliche Arithmetik bezeichnet. Nehmen wir an, unsere
endliche Zahl von Ganzzahlen besteht aus den Zahlen 0, 1, 2, 3, ..., n-1, n.
Die Arithmetik in diesem Zählsystem können wir auch als modulare Arithmetik
des Moduls n bezeichnen. Im Falle der Stunden einer Uhr, wäre das Modul
12. (Wenn wir jedoch in der modularen Arithmetik mit den Stunden einer Uhr
arbeiten, müssten wir die Integer-Zahlen 0, 1, 2, 3, ..., 10, 11, und nicht 1, 2,
3,...,11, 12) verwenden.
Operationen in modularer Arithmetik
Addition in modularer Arithmetik mit dem Modul n, wobei n eine positive
Ganzzahlahl darstellt, folgt den Regeln dass, wenn j und k zwei positive
Ganzzahlen, beide kleiner als n sind und j+k≥ n ist, j+k als j+k-n definiert
wird. Im Beispiel mit unserer Uhr bedeutete das für n = 12: 6+9 "=" 3. Um
diese "Gleichwertigkeit" von unendlichen arithmetischen Gleichheiten zu
unterscheiden, wird das Symbol ≡ anstelle des Gleichzeichens gesetzt und
das Verhältnis zwischen diesen Zahlen als Kongruenzund nicht als
Gleichwertigkeit bezeichnet. Somit würden wir für das obige Beispiel 6+9 ≡ 3
(mod 12) schreiben und diesen Ausdruck wie folgt lesen "sechs plus neun ist
kongruent zu drei, Modul 12". Stellen die Zahlen die Stunden seit Mitternacht
dar, kann z. B. die Kongruenz 6+9 ≡ 3 (mod 12) als "sechs Stunden nach
der neunten Stunde nach Mitternacht, wird drei Stunden nach Mittag sein"
interpretieren. Andere Summen, welche in Modul 12-Arithmetik definiert
werden können sind beispielsweise: 2+5 ≡ 7 (mod 12); 2+10 ≡ 0 (mod 12);
7+5 ≡ 0 (mod 12) usw.
Die Regeln für die Subtraktion lauten wie folgt: wenn j – k < 0, dann wird j-k
als j-k+n definiert. Somit liest man 8-10 ≡ 10 (mod 12) als "acht minus zehn
ist kongruent zu zehn, Modul zwölf". Ein weiteres Beispiel einer Subtraktion in
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