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x^n erhalten wir eine algebraische Hilfsgleichung: 'n*(n-1)+a*n+b = 0',
oder.
•
Wenn die Gleichung zwei verschiedene Wurzeln enthält, z. B. n
dann ist die allgemeine Lösung zu dieser Gleichung y(x) = K
2
•
Wenn b = (1-a)
/4, dann hat die Gleichung eine Doppelwurzel n
n = (1-a)/2, und die Lösung lautet y(x) = (K
Legendre'sche Gleichung
Eine Gleichung der Form (1-x
n eine reale Zahl ist, ist als Legendre'sche Gleichung bekannt. Jede Lösung für
diese Gleichung wird Legendre'sche Funktion genannt. Wenn n eine nicht
negative Ganzzahl ist, nennt man die Lösungen Legendre'sche Polynome. Das
Legendre'sche Polynom von Ordnung n ist gegeben durch
M
P
(
x
)
n
m
=
2 (
n
)!
n
2
2
(
n
) !
wobei M = n/2 oder (n-1)/2, je nachdem was eine Ganzzahl ist.
Legendre'sche Polynome sind im Taschenrechner vorprogrammiert und können
mithilfe der Funktion LEGENDRE aufgerufen werden, falls die Ordnung des
Polynoms n gegeben ist. Die Funktion LEGENDRE kann über den
Befehlskatalog (‚N) oder über das Menü ARITHMETIC/POLYNOMIAL
aufgerufen werden (siehe Kapitel 5). Im RPN-Modus erhält man die ersten
sechs Legendre'schen Polynome wie folgt:
0 LEGENDRE, Ergebnis: 1,
1 LEGENDRE, Ergebnis: 'X',
2 LEGENDRE, Ergebnis: '(3*X^2-1)/2',
3 LEGENDRE, Ergebnis: '(5*X^3-3*X)/2',
2
n
(
a
) 1
n
b
2
2
2
)-2⋅x⋅ (dy/dx)+n⋅ (n+1) ⋅y = 0, wobei
)⋅(d
y/dx
2 (
n
2
m
(
) 1
n
2
m
( !
n
m
0
2 (
n
2
)!
n
x
n
2
1
( !
n
1
( )!
n
0
.
und n
1
n
⋅x
+ K
1
1
1
⋅ln x)x
n
+ K
.
1
2
m
)!
n
−
2
m
x
)!
(
n
2
m
)!
n
−
2
x
...
..
2
)!
d.h. P
(x) = 1.0.
0
d.h. P
(x) = x.
1
d.h. P
(x) = (3x
2
3
d.h. P
(x) =(5x
3
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,
2
n
⋅x
.
2
2
= n
=
2
2
-1)/2.
-3x)/2.
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