Inhaltsverzeichnis
Werbung
Modul 12-Arithmetik wäre 10-5 ≡ 5 (mod 12); 6-9 ≡ 9 (mod 12); 5 – 8 ≡ 9
(mod 12); 5 –10 ≡ 7 (mod 12) usw.
Die Multiplikation erfolgt nach der Regel, dass wenn j⋅k > n, wobei j⋅k = m⋅n
+ r, wobei m und r positive Integer-Zahlen kleiner als n darstellen, dann ist j⋅k
≡ r (mod n). Das Produkt von j mal k in Modul n-Arithmetik ist im Grunde
genommen der Ganzzahlrest von j⋅k/n in der unendlichen Arithmetik, wenn
j⋅k>n. So gilt z. B. in Modul 12-Arithmetik 7⋅3 = 21 = 12 + 9, (oder 7⋅3/12
= 21/12 = 1 + 9/12, d. h., der Ganzzahlrest von 21/12 ist 9). Wir können
nun 7⋅3 ≡ 9 (mod 12) schreiben und das letzte Ergebnis wie folgt lesen:
"sieben mal drei ist kongruent zu neun, Modul zwölf".
Der Divisionsvorgang kann als Multiplikation wie folgt ausgeführt werden r/k
≡ j (mod n), wenn j⋅k ≡ r (mod n). Das bedeutet, dass r den Restwert von j⋅k/n
darstellen muss. So gilt z. B. 9/7 ≡ 3 (mod 12), weil 7⋅3 ≡ 9 (mod 12)
darstellt. Einige Divisionen sind in der modularen Arithmetik nicht erlaubt. So
können Sie z. B. in Modul 12-Arithmetik 5/6 (mod 12) nicht definieren, weil
die Multiplikationstabelle von 6 das Ergebnis 5 in Modul 12-Arithmetik nicht
anzeigt. Nachfolgend die Multiplikationstabelle:
6*0 (mod 12)
6*1 (mod 12)
6*2 (mod 12)
6*3 (mod 12)
6*4 (mod 12)
6*5 (mod 12)
Formale Definition eines endlichen arithmetischen Ringes
Der Ausdruck a ≡ b (mod n) wird als "a ist kongruent zu b, Modulo n"
interpretiert und gilt, wenn (b-a) ein Vielfaches von n ist. Anhand dieser
Definition werden die arithmetischen Regeln wie folgt vereinfacht:
a ≡ b (mod n) und c ≡ d (mod n),
Wenn
dann
0
6*6 (mod 12)
6
6*7 (mod 12)
0
6*8 (mod 12)
6
6*9 (mod 12)
0
6*10 (mod 12)
6
6*11 (mod 12)
a+c ≡ b+d (mod n),
a-c ≡ b - d (mod n),
0
6
0
6
0
6
Seite 5-15
Quicklinks ausblenden:
Werbung
Inhaltsverzeichnis
