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Jacobimatrix einer Koordinatentransformation
Betrachten Sie die Koordinatentransformation x = x(u,v), y = y(u,v). Die
Jacobimatrix dieser Transformation wird definiert als
Wenn Sie mit dieser Transformation ein Integral berechnen, lautet der zu
verwendende Ausdruck
wobei R' der durch die Koordinaten (u,v) angegebene Bereich R ist.
Doppeltes Integral in Polarkoordinaten
Zur Transformation von Polarkoordinaten zu kartesischen Koordinaten
verwenden wir x(r,θ) = r cos θ und y(r, θ) = r sin θ. Somit lautet die
Jacobimatrix der Transformation
|
|
Bei diesem Ergebnis werden Integrale in Polarkoordinaten als
φ
'
geschrieben, wobei der Bereich R' in Polarkoordinaten R' = {α < θ < β, f(θ) <
r < g(θ)} lautet.
Doppelte Integrale in Polarkoordinaten können in den Taschenrechner
eingegeben werden, wenn sichergestellt wird, dass die Jacobimatrix |J| = r
x
u
J
J
|
|
det(
)
det
y
u
φ
(
,
)
=
φ
[
x
y
dydx
R
R
'
cos(
)
sin(
)
β
(
)
, (
)
=
φ
, (
r
θ
dA
r
α
(
)
x
v
y
v
(
,
),
(
,
| )]
|
x
u
v
y
u
v
J
dudv
sin(
)
cos(
)
)
θ
rdrdθ
Seite 14-10
,
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