Verwendete Formel Für Die Berechnung Von Statistik - Mettler Toledo AX Bedienungsanleitung

Kapitel 6: Die Applikation "Wägen"
62
6.4.7 Verwendete Formel für die Berechnung von Statistik
Berechnung von Mittelwert und Standardabweichung
Bezeichnungen
x := Einzelne Messwerte einer Mess-Serie von n Messwerten
i
x := Mittelwert und
s Standardabweichung dieser Messwerte
Für den Mittelwert gilt
1
n
x x
i
n
i 1
Die aus der Literatur bekannte Formel zur Berechnung der Standardabweichung s
1
2
s x x
i
n 1
ist für die numerische Berechnung nicht geeignet. Der Grund ist der, dass bei Mess-Serien mit sehr kleinen Abweichungen zwischen den
Einzelwerten das Quadrat der Differenz (Einzelwert-Mittelwert) zu Auslöschung führen kann. Darüber hinaus müsste bei Anwendung dieser
Formel jeder einzelne Messwert abgespeichert werden, bevor die Standardabweichung am Schluss bestimmt werden kann.
Die folgende Formel ist mathematisch äquivalent, aber numerisch wesentlich stabiler. Sie kann durch geeignete Umformung aus (1)
und (2) hergeleitet werden:
1 1
n n
2
s x
i
n 1 n
i 1 i 1
Für die Berechnung von Mittelwert und Standardabweichung müssen zur Anwendung dieser Formel nur n ,
abgespeichert werden.
Standardabweichung
Durch Skalierung der Messwerte kann die numerische Stabilität noch weiter verbessert werden:
X (je nach Anwendungsfall) entweder der erste Messwert einer Mess-Serie oder der Sollwert einer Mess-
x : x X
Mit wobei
i i 0
Serie ist, ergibt sich für entsprechend:
1 1
n
2
s x
i
n 1 n
i 1
Mittelwert
Entsprechend berechnet sich dann der Mittelwert:
1 n
x X x
0 i
n
i 1
Relative Standardabweichung
Die relative Standardabweichung berechnet sich nach der Formel:
s
s 100
rel
x
Stellenzahl der Resultate
Mittelwert und Standardabweichung werden grundsätzlich mit einer Nachkommastelle mehr angezeigt und ausgedruckt, als die
entsprechenden einzelnen Messwerte. Bei der Interpretation der Resultate ist zu beachten, dass diese zusätzliche Dezimalstelle bei
kleinen Mess-Serien (weniger als ca. 10 Messwerte) nicht aussagekräftig ist.
Das gleiche gilt auch für Prozentangaben (wie zum Beispiel bei der relativen Standardabweichung) die immer mit zwei
Nachkommastellen erfolgen (zum Beispiel 13,45 Prozent). Auch hier ist die Aussagekraft der Nachkommastellen abhängig von der
Grössenordnung der Ausgangsdaten.
2
x
i
0
2
n
x
i
i 1
Prozent
i 1 ... n
(1)
(2)
x und
i
2
x
i